连续复利远期利率(【大有闻章】八道最难的CFA考题和答案)

【大有闻章】八道最难的CFA考题和答案

要通过CFA三个级别的考试，每级至少要花300个小时学习。或者你可以跟着我们的指南来备考。但即便如此，有可能你还是会被那些非常难的题目弄得晕头转向。

我们采访了CFA考试的培训机构，在它们看来以下八道题可能会是你在CFA一级、二级和三级考试中遇到的最难的题目。幸运的是，这里也有答案。

1.一级：CFA持证人BethKnight和DavidRoyal各自对Bishop有限责任公司进行估值。Bishop去年分红1美元，Knight预期未来三年每年红利增长率为10%，之后每年以4%对速度恒定增长。Royal也是预测红利将暂时以10%的速度增长，之后再保持4%的增速，但他预计红利的超速增加只会持续两年。Knight估算Bishop公司的要求回报率为9%，但Royal认为要求回报率为10%。Royal对Bishop公司股票的估值约：

比Knight的估值低5美元

和Knight的估值一样

比Knight的估值高5美元

KaplanProfessional, 高级职位VP, TimSmaby：

“正确答案是A。不用计算就能选出正确答案。Royal用的是较短期限内红利的超额增长率以及较高的要求回报率，这两个因素会使得用多阶段DDM法算出来的值更低。

Royal的估值比Knight的低5.1美元。

2.一级：JohnGray，CFA持证人，和SallyMiller在讨论年终奖和怎么花这些奖金。Miller刚从事金融工作不久，问Gray大家通常能拿到的数额以及他过去拿到过的金额。Gray说公司禁止员工讨论自己奖金的具体数字，但也说了30%的人会拿到“高”奖金、50%的人拿“中等”、20%的人拿“低”奖金。Gray说他非常想要某家大型科技公司最新发布的一款智能手表，还说如果他拿到了“高”奖金肯定会去买，尽管只有50%和10%的可能性他拿到“中等”和“低”奖金。

两周后，Miller在办公室里见到Gray，问他是否拿到了高奖金。Gray提醒公司规定他不能说，但Miller注意到他戴了之前他们谈论到的那块新手表。Miller回到自己的工位来计算Gray拿到“高”奖金的概率最接近：

A:30%

B:53%

C:57%

QuarticTraining， 首席执行，NicholasBlain：

“用贝叶斯公式：P（事件|信息）=P（事件）*P（信息|事件）／P（信息）

本题中，事件是拿到“高”奖金，信息是Gray买了新手表。

他拿到“高”奖金然后买了这块手表的概率可以计算为：

P（事件）*P（信息|事件）=0.3*1.00=0.30

他会买表的总概率计算为：

P（信息）=0.3*1.00+0.5*0.50+0.2*0.10=0.57

P(事件|信息)=0.30/0.57=0.53.”

因此，他拿到“高”奖金的概率等于他既拿到“高”奖金又买了表的概率除以他买这块表的总概率，等于：

P（事件|信息）=0.30/0.57=0.53。”

3.一级：对于一只股票的欧式看涨期权，分析师对哪种变化（每种变化分开看，其他因素保持不变）引起的期权价格上涨或下降最没信心？

A:股价上涨；分红增加

B:对股票的需求增加／供给减少；利率下降

C:股票波动加大；公司取消下一次分红

QuarticTraining，首席执行，NicholasBlain：

“股价上涨=期权价格上升

分红增加=期权价格下降（分红是持有标的股票而获得的好处，当持有期权的时候，不会有分红）

股票需求量大=期权价格下降，因为这是持有标的好处

利率下降=期权价格下降，因为降低了持有标的的成本

股票波动上涨=期权价格上升

取消下次分红=期权价格上涨，因为这些分红期权持有人怎么也拿不到

A是正确答案；因为股票上涨引起的期权价格上涨可能被因为分红增加而引起的股价下跌而抵消

B里两种情况下期权价格都会下降，C里两种情况都会引起期权价格上涨。”

4.二级：Sudbury产业公司预期下一年FCFF为4亿加拿大元，并以3%的速度永续增长。公司为全股权资本结构，对股票的要求回报率为8%。

Sudbury产业有1亿股在外发行的普通股，目前在市场上的交易价格为每股80加元。

根据永续增长FCFF估值模型，Sudbury公司的股票估值：

A.合理

B.被高估

C.被低估

KaplanProfessional, 高级职位VP, TimSmaby：

“正确答案选A。

根据自由现金流估值模型，Sudbury公司的股票似乎估值很合理。

因为Sudbury公司为全股权结构，其WACC和股权的要求回报率相同，都为8%。

Sudbury产业的公司价值等于用WACC以贴现计算出来的FCFF现值。因为FCFF会以3%的恒定速度增长，得到：

公司价值=FCFF1 /WACC−g=4亿／0.08−0.03=4亿／0.05=80亿加元

因为公司没有负债，股权价值等于公司价值。用80亿加元的股权价值除以发行在外的股票数量就能得到预估的每股价值：

V0 =80亿加元／1亿股股票=80加元美股”

5.二级：（从选择题节选）

刚公布了一家公司的财务信息，如下：

股息和自由现金流在未来四年从14%稳步下降至5%，之后再以5%的速度增长。

用基于红利的估值方法计算的每股内在价值最接近于：

$121美元

$127美元

$145美元

QuarticTraining，首席执行，NicholasBlain：

“二级选择题考股息和自由现金流估值常常要求用H模型。

模型本身可以写成V0=D0÷(r–gL)x[(1+gL)+(Hx(gS–gL))]，其中gS和gL分别为短期和长期增长率，H为增速放缓的“半寿命”。

这道题的计算为：股息D0=2.4亿美元x0.6÷2000万股=美股7.2美元

V0=7.20美元÷(0.12–0.05)x[1.05+2x(0.14–0.05)]=126.51美元，答案选B。

不过有个简便方法来记这个公式。画出增长率的时间轴：两个半寿命年期间从短期gS下降到长期的gL，之后gL保持水平。考虑线下方的两部分：“恒定增长”的部分以及三角形部分。

看下公式，“恒定增长”的这部分是方括号的第一部分，即D0÷(r–gL)x[(1+gL)…]，就是你们所熟悉的D1÷(r–gL)。对于三角形，这是什么区域呢？二分之一底x高=0.5x2Hx(gS–gL)=Hx(gS–gL)。这是方括号的第二部分。

因此H模型可以改写为V0=D0÷(r–gL)x[(1+gL)+三角形]。”

6.三级：一名德国的基金经理和一家美国银行签订了一份三个月的远期合约，将以8135欧元比美元的远期利率将1000万美元换成欧元。合同签订后一个月，即期汇率为0.8170欧元兑1美元，欧元利率为3.5%、美国利率为4.0%。

KaplanProfessional, 高级职位VP, TimSmaby：

“这位德国基金经理（空头）和一家美国银行签约以€0.8135的价格来卖美元，而美元涨到了€0.8170。基金经理在即期市场比签这个合约能赚更多，因此这家银行面临了信用风险（基金经理可能会违约）。从这家美国银行（多头）的角度看，信用风险的额度是：

V银行（长期）=€8,170,000/(1.04)2/12˗€8,135,000/(1.035)2/12=€28,278

（正号表示这家银行面临这位德国基金经理可能会违约的信用风险）”

7.三级：来自“期权策略”部分

无风险利率连续复利：每年4%

期权到期时间：6个月

用以上盒式套利的数据计算六个月后会有多少套利利润。

QuarticTraining，首席执行，NicholasBlain：

“首先，计算出盒式套利的成本。将两个看涨期权并成一个牛市套利（买入低价看涨期权再卖空高价看涨期权），然后将两个看跌期权组成一个熊市套利（买入高价看跌期权并卖出低价看跌期权）。两者结合起来形成盒式套利。计算初始成本来得出净分红：

成本=c1–c2+p2–p1=6–4+8.001–0.604=$9.397

盒式套利的收益为执行价之间的差价，即30–20=$10。

如果一开始就借入$9.397来做盒式套利，6个月之后你需要支付多少？这需要复利计算无风险利率的成本：

$9.397xe0.04x0.5=$9.58683

因此套利利润为收益和需用来偿付贷款的额度，即$10–$9.58683= $0.41317”

8.三级：假设FelixBurrow是持有一些以欧元计价资产的美国投资者。根据下列所给信息，计算这一年Burrow的本国收益率。

QuarticTraining，首席执行，NicholasBlain：

“本国利率（以美元计算）取决于资产的欧元回报率以及外汇变化：

RDC=(1+RFC)(1+RFX)-1

其中RFX为即期利率的改变，用本国货币作为计价货币（即我们要求是美元／欧元报价）。本例中，汇率是这样报，所以我们可以用提供的报价（不然如果本国货币是基本货币，我们则需要先转换下报价）。

RFC=-1=0.0078=0.78%

RFX=-1=0.0261=2.61%

RDC=(1+0.78%)(1+2.61%)–1= 3.41%

Burrow的本国货币收益比标的资产的收益率高，因为他能进一步从欧元升值（美元贬值）中获益。

什么是连续复利？

雅各布.伯努利300多年前提出的连续复利是错误的。

现在国内外经济数学、金融学、货币银行学、工程经济学、公司理财、衍生工具等课程都还在讲这种错误方法，有些理工类学生用的高等数学，有些数学读物也在讲这错误方法，1997年诺贝尔经济学奖评委会没有看出这种连续复利法的错误。

所谓的连续复利是从不连续复利的公式

A。(1+r)^t

(小学数学中学到的)为基础推导的，将一年分成m次计算，每次利率取为r/m,这样一年计算m次 ,t年计算mt次，于是就有复利分期计算公式

A。(1+r/m)^(mt)

令m趋于无穷大，得出所谓连续复利公式

A。e^(rt)。(这种连续复利计算的一个重要含义是，推导出的式子A。e^(rt)中的时间变量t可以取连续实数)

错误一 从A。(1+r)^t推导出A。e^(rt)，对于r=10%,就是从A。(1+10%)^t推导出A。e^(0.1t)=

A。(1+10.517%)^t。根据A。(1+10%)^t推导出

A。(1+10.517%)^t，这也就是根据10%推导出了10.517%,这是用任何知识推导都推导不出来的(思考:根据这一点能不能从根本上否定这种连续复利计算?能不能对这种连续复利法一票否决?)。

错误二 我们把t=3代入这推导过程看一下。根据这种推导过程，这就是根据

A。(1+r)^3推导出

A。(1+r/m)^(3m)，再得出A。e^(3r).

这种推导后的计算，时间变量还是只取整数，并没有推导出时间变量t可取非整数的连续复利计算(强调一下，各种期权定价模型就是根据这种推导让时间变量t变成了可以取连续实数)，A。e^(rt)中的时间变量还是只取整数。根本没有推导出”连续计算”(思考:根据这一点能不能从根本上否定这种连续复利计算?能不能对这种连续复利法一票否决。还可进一步思考，无论一年中的计息次数m的值是多大，所谓复利分期计算公式

A。(1+r/m)^(mt))计算的值都只是一个数，不是m个数值，在平面坐标系中只是一个点，这些点列的极限只是一个点

(t，A。e^(rt))，不能成为连续曲线，没有构成连续计算)。

当连续计算复利时，以什么利率才能使本金在8年内变成3倍

你好，根据公式1000×(1+8.5%)^n=2000解得n=8.5所以需要8.5年

银行从业资格考试连续复利计息怎么计算？

银行从业资格考试连续复利计息计算

FV＝PV×（1＋r）t（可查表计算）

PV现值（本金），FV终值（本金加利息），r利率，t时间

（1＋r）t为终值利率因子、终值复利因子、复利终值系数。

关于连续复利终值问题？

连续复利计算公式F=P*e^rct

为复利记息F：i连续复利终值

P：本金

rc：连续复利利率

t：相应利率获取时间的整数倍(以年为单位)

连续复利是指在期数趋于无限大的极限情况下得到的利率，此时不同期之间的间隔很短，可以看作是无穷小量。复利就是复合利息，它是指每年的收益还可以产生收益，具体是将整个借贷期限分割为若干段，前一段按本金计算出的利息要加入到本金中，形成增大了的本金，作为下一段计算利息的本金基数，直到每一段的利息都计算出来，加总之后，就得出整个借贷期内的利息，简单来说就是俗称的利滚利。

数三：连续复利计息是什么东西？

已知名义利率为r,在连续复利计算的情况下实际利率这样计算,如下图

利率曲线-II

继上次利率曲线的讨论，这次我们以美元市场为例，来简单介绍一下如何从市场可交易的利率产品创建利率曲线。

首先我们需要了解一下市场利率产品是如何定价的，之前提到过利率市场正在经历一场贴现率的变革，美元利率市场从原先的FedFund转移至SOFR贴现，欧元市场从EONIA变化至ESTER贴现。大约十多年前，全球利率市场也发生过类似变化，从LIBOR贴现到OIS贴现。那为什么有这些变化呢？这和金融产品的交易抵押结构有关。

下面我们看一个简单的交易，机构A和机构B之间做一个单货币抵押（collateralized）金融产品交易，

-         在t时刻，

o  A从B购买V(t)的资产

o  B立即给了A等值的抵押品V(t)

-         在t+dt时刻

o  A返还抵押品和抵押品产生的利息给B

o  B然后重新给A等值的新抵押品V(t+dt)

那么我们有这样的现金流，

这里在t和t+dt时刻，对机构A和B来说都是零收益和支出（P&L）。

这样虽然简单但很重要的现金流分析告诉我们，对于有抵押的金融产品来说，我们需要用抵押品的连续复利利息率c(t)来贴现也就是，

这里的Q代表风险中立的测度（有时间我们统一来讲讲测度）。

用于抵押的可以是任何接近零风险的金融产品，譬如现金，国债等等。抵押资产的引入大大的降低了对手风险，如果对手破产了，你可以保留对手的抵押品从而最大可能减少损失。随着金融市场的发展，抵押资产也变的复杂，譬如可以择优资产抵押，可以在有零抵押利率底的基础上做抵押等等，这些复杂的结构性抵押让即使很简单的金融产品变得极其复杂，需要建立多因子多货币随机数学模型（后面有时间展开说说）。

现在我们知道了如何贴现抵押金融产品，那再回到美元市场的标准利率产品，如今的利率市场协议CSA指定美元现金抵押的利率为担保隔夜融资利息率USDSOFR。所以对于交易员来说，他们首先需要创建SOFR利率贴现曲线，接下来再创建一系列的浮动利率远期曲线，从而才能实时精确的进行利率交易。

在美元利率市场，我们一般有以下几条利率曲线需要去创建，

-         USDSOFR利率曲线

-         USDFedFund利率曲线

-         USD3MLIBOR利率曲线

-         USD1MLIBOR利率曲线

-         USD6MLIBOR利率曲线

-         USD12MLIBOR利率曲线

我们先来了解一下这些曲线都用来做什么，

-         USDSOFR曲线用来贴现以SOFR利率抵押的金融产品或计算SOFR浮动远期利率

-         USDFedFund曲线曾经是USDSOFR的角色用来贴现美元现金抵押利率产品，现在它主要用来计算FedFund的浮动远期利率（譬如LCH/CME用于补偿贴现率变化的SOFR/FedFund基差互换），和贴现一些复杂的奇异金融产品（类似百慕大可撤销利率互换，或一些已交易但未到期的欧式利率互换期权价值部分，但这在不久的将来也会转移至USDSOFR）。

-         USD3M/1M/6M/12M利率曲线用来计算金融产品的浮动远期利率。

利率曲线的创建其实就是从市场可交易的流动性大的利率产品拟合一条曲线，而每个投资银行对于这些利率产品的选择都有自己不同的偏好，在这里我们举一个例子，对于每条美元利率曲线，我们可以有以下市场利率产品，

-         USDSOFR利率曲线

o  隔夜到3M的SOFR存款

o  SOFR3M期货

o  2年以上的SOFR/FedFund的利率基差互换

-         USDFedFund利率曲线

o  隔夜到3M的FedFund存款

o  FedFund3M期货

o  2年以上的LIBOR/FedFund的浮动基差互换

-         USD3MLIBOR利率曲线

o  3M的LIBOR存款

o  LIBOR3M期货

o  2年以上的LIBOR3M固定利率互换

-         USD1MLIBOR利率曲线

o  3M/1M的浮动基差利率互换

-         USD6MLIBOR利率曲线

o  6M/3M的浮动基差利率互换

-         USD12MLIBOR利率曲线

o  12M/3M的浮动基差利率互换

我们注意到，SOFR，FedFund和3MLIBOR曲线是相互联系非独立的，因为SOFR两年以上的SOFR/FedFund利率基差互换的定价需要FedFund浮动远期曲线，而FedFund利率互换的定价必须有SOFR贴现曲线，同样LIBOR3M的两年以上利率互换的定价需要FedFund浮动远期曲线和SOFR贴现曲线，这就需要我们同时创建这三条曲线（但实际工作中我们可以做一些一次近似单独创建或同时创建其中两条）。当创建完成USDSOFR和USD3M曲线，我们继而可以创建USD1M，6M，12M的浮动远期利率曲线。

以上只是一个很简单的利率曲线创建解决方案，对于一般的非利率和外汇短期类交易已经是足够了。但对于利率交易员来说，这样的方案还不够完善，在实际工作中我们还需要创建一些短期0-2年的利率曲线去反映市场短期预测和波动，类似月末，季度末，年末的turneffect，央行的利率决议会议，以及期货市场的凸性等等，然后用这些短期利率曲线作为最终整体曲线的短期部分，从而更为精确定价和套利。

美元曲线是所有利率曲线的基础，所有其他货币的外汇相关曲线都依赖于USDFedFund（市场正切换至USDSOFR）和USD3MLIBOR曲线，因为市场标准与美元的交叉货币浮动基差互换都是美元现金抵押的。譬如离岸人民币的外汇基差曲线，它的创建则需要美元和离岸人民币3M/3M交叉货币浮动基差互换，离岸人民币的3M利率曲线和美元FedFund和3MLIBOR利率曲线。

就像我们上次所说的，利率曲线的数学模型虽然简单，但它们的创建包含了非常繁琐的细节。就如同某清算中心的报告，全球大几十家机构用同样的清算中心的曲线利率产品价格和规定的曲线插值方法，平均误差可以超过1bp（基点-绝对误差除以DV01），这在利率曲线交易里已经算非常显著的了，这也足以说明利率曲线创建的复杂程度。

最后我们会发现一个问题，对于美元和其他货币外汇曲线，市场的CSA协议是美元现金抵押，那如果我们要做个非美元现金抵押交易，交易员应该怎么办？下次我们继续聊。

试计算与每年年利率10%且按月复利等价的连续复利的年利率是多少？

年限呢设为n年，利息为i（1+i)^n=1+n10%1年时为10%2年时为9.9%3年时为9.1%。。。。。

银行利息复利如何计算？

复利计息，就是将期满的利息滚入本金内，将本息之和作为“新本金”，在下一个存款周期内再次计息的一个过程。1、如果存入的本金是一年期，年利率6%，30万元，连续存5年（5次），利息计算公式如下：300000* [（1+6%）^5-1]=101467.67元。到期的本金、利息和为：300000+101467.67=401467.67元。或者：300000* （1+6%）^5-=401467.67元。式中^5表示5次方（5年、5次）2、如果是每个月结一次利息，利率仍为6%，存5年，复利公式为：300000*[（1+6%/12）^60-1]=104655.05元。式中^60为12个月*5年=60

按连续复来自利计算,3个月无风险利率是5.25%，12个月的无风险利率360问答是5.75%，3个月之后执行的为期9个月远期利率

设3个月之后执行的为期9个月的利率是i(1+5.25%/12)^3(1+i/12)^9=(1+5.75%/12)^12i=5.92%望指正