什么是对数什么是指数(什么是指数式，对数式)

什么是指数式，对数式

指数函数和对数函数·习题解法提要--------------------------------------------------------------------------------作者：-日期2006-08-0207:18:33（1）可通过指数函数或对数函数的单调性来比较两个指数式或对数式的大小。（2）求函数y=af（x）的单调区间，应先求出f（x）的单调区间，然后根据y=au的单调性来求出函数y=af（x）的单调区间．求函数y=logaf（x）的单调区间，则应先求出f（x）的单调区间，然后根据y=logau的单调性来求出函数y=logaf（x）的单调区间。（3）根据对数的定义，可将一些对数问题转化为指数问题来解。（4）通过换底，可将不同底数的对数问题转化为同底的对数问题来解。（5）指数方程的解法：（iii）对于方程f（ax）=0，可令ax=y，换元化为f（y）=0。（6）对数方程的解法：http://www.ehappystudy.com/upload/html/2006/7/19/zlm6599200671911244798270.gif（ii）对数方程f（logax）=0，可令logax=y化为f（y）=0。（7）对于某些特殊的指数方程或对数方程可通过作函数图象来求其近似解。

什么叫对数指数？

指数是幂运算aⁿ(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘。

对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。 这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。 在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。

什么是幂函数,什么是指数函数,什么是对数函数,什么是三角函数,什么是反三角函数?

这些都是要在高中学习的幂函数Y=X^N底数为自变量指数函数Y=A^X指数为自变量对数函数Y=LOGAX此时X=A^Y幂为自变量三角函数Y=SINX等反三角函数三角函数的反函数就是反三角函数

对数函数与指数函数有什么区别？

指数的定义:一般地,形如y=a^x(a>0且a≠1)(x∈R)的函数叫做指数函数。对数的定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。图像，表达式都不同

什么是指数对数？

二者皆是数学概念，

对数函数与指数函数有什么区别？

指数的定义:一般地,形如y=a^x(a>0且a≠1)(x∈R)的函数叫做指数函数。对数的定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。图像，表达式都不同

指数和对数，一对好兄弟

高中的函数知识里，有一对好兄弟，他们是

函小数在上高中时还是对这俩函数有点困惑的，尤其是辣个对数函数，一时半会儿还真是没太明白~

时过境迁，函小数已经对它们了如指掌了，今天就带着大家一起来学学吧！

指数函数

函小数

Questionone，什么是指数？

还记得在十一类幂函数，你会画它们的图象吗？中，

我们给出了幂函数的定义

幂函数：以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。一般形式是

在上面这个式子中，x是底数，α是指数，y是幂

在高中数学里，我们需要记住以下一些关于指数的运算

函小数

Questiontwo，指数函数长啥样？

指数函数：一般地，y=a^x函数(a为常数且a>0，a≠1)叫做指数函数。

我们来展示一下指数函数图象的两种形态

看这个图象能发现什么呢？

最常用的指数函数性质出炉了

指数函数的定义域是R，值域是(0，+∞）

指数函数一定过（0,1）点

当底数a>1,指数函数在R上为增函数；

当底数0

老师老师，假如两支函数都是a＞1，谁在里面，谁在外面呢？

小丸子

这个问题不是问题，记住下面四支函数就好啦

si不si很简单

指数函数的知识就是这么多，同学们务必掌握哦

2

对数函数

函小数

对数这个概念，相比指数，大家可能更为生疏。咱们在这里首先讲讲对数的定义

对数：对数是对求幂的逆运算。如果a的x次方等于N（a>0，且a不等于1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。

有关对数，咱们需要记住以下四个知识点

对数恒等式

这个式子大家可以自己想想为什么哦，其实很简单的

对数运算

这些都是对数非常常用的运算规则，一定要记住！

换底公式

结合上面这些公式，咱们还有以下推论：

几个常见形式

函小数

同样地，接下来咱们讲讲对数函数长啥样

咱们也可以得到对数函数的性质

对数函数的定义域是(0，+∞），值域是R

对数函数一定过（1,0）点

当底数a>1,对数函数在(0，+∞)上为增函数；当底数0(0，+∞)上为减函数.

当然也有谁在里面谁在外的问题，看下面的图象哦

也是很好理解啦~

利用对数函数的性质，我们来看一个栗子

分析：因为底数不确定是属于(0,1)还是(1,∞),这两种情况下对数函数的增减性不同，因此需要分类讨论。

3

指数函数与对数函数的关系

指数函数和对数函数是一对好兄弟，那么它们到底什么关系呢？

我觉得它们图象都很相似

小丸子

函小数

你说得很对。这是因为它们互为反函数，因此图象关于y=x对称

什么是反函数呢？

设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得g(y)=x，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把y=g(x)称为函数y=f(x)的反函数。

两个互为反函数的函数，它们的图象关于y=x对称

例如：

它们的图象为

根据图象我们也可以看到，互为反函数的两个函数拥有相同的单调性哦~

两个好兄弟的故事今天就讲到这里啦，高中阶段关于函数的知识也要告一段落了。童鞋们有没有什么收获呢？欢迎给函小数我留言呀，回复必看~~

关注“一起搞定高中数学哇”

高考数学知识点梳理-指数函数与对数函数

点击蓝字关注我们

1.带条件根式的化简

(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.

(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.

2.根式与分数指数幂互化的规律

(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．

(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．

3.指数幂运算的常用技巧

(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.

(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.

(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.

提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.

4.解决条件求值的思路

(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.

(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.

5．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：

(1)底数是大于0且不等于1的常数；

(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；

(3)ax的系数必须为1.

6.指数函数图象问题的处理技巧

(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.

(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).

(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.

7.比较幂的大小的方法

(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.

(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.

(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.

(4)当底数含参数时，要按底数a>1和0a

8.利用指数函数的单调性解不等式

利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．

9.函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧

(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0af(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成.

(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性.

10.指数式与对数式互化的方法

(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；

(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.

11.求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤

(1)设logaN＝m；

(2)将logaN＝m写成指数式am＝N；

(3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.

12.应用换底公式应注意的两个方面

(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.

(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.

13.求对数型函数的定义域时应遵循的原则

(1)分母不能为0.

(2)根指数为偶数时，被开方数非负.

(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.

提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.

14.函数图象的变换规律

(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.

(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)x轴对称.

15.比较对数值大小的常用方法

(1)同底数的利用对数函数的单调性.

(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.

(3)底数和真数都不同，找中间量.

提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.

16.常见的对数不等式的三种类型

(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；

(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解；

(3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解.

17.常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型

线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.

(2)指数函数模型

指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.

(3)对数函数模型

对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.

18.由图象判断指数函数、一次函数的方法

根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.

19.函数零点的求法

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根.

(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.

20.判断函数零点所在区间的三个步骤

(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.

(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.

(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.

21.判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.

22.函数拟合与预测的一般步骤：

(1)根据原始数据、表格，绘出散点图.

(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线.

(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.

(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.

如何区分对数函数和指数函数及幂函数？

对数函数、指数函数和幂函数是常见的数学函数，可用以下方法进行区分

它们的数学表达式和特点如下：

对数函数：对数函数是指以某个正数为底数的对数函数，常用的底数有 e 和 10。其数学表达式为 y = log_a(x)，其中 a 是底数，x 是自变量，y 是因变量。对数函数的特点是将底数 a 的多少次幂变成自变量 x，其函数值是指数 y，即 a 的 y 次幂等于 x。对数函数的图像通常是单调递增的，即随着 x 的增加而 y 也增加。

指数函数：指数函数是以自然常数 e 为底数的指数函数，其数学表达式为 y = e^x，其中 x 是自变量，y 是因变量。指数函数的特点是以常数 e 为底数，自变量为指数，因变量为指数对应的值。指数函数的图像通常是单调递增的，即随着 x 的增加而 y 也增加。

幂函数：幂函数是以自变量的幂次作为函数值的函数，其数学表达式为 y = x^a，其中 a 是常数，x 是自变量，y 是因变量。幂函数的特点是自变量和因变量都是非负数，并且当 a > 0 时，函数图像是单调递增的；当 a < 0 时，函数图像是单调递减的。当 a = 0 时，幂函数是一个常数函数。

需要注意的是，对数函数、指数函数和幂函数都是基本函数，它们可以通过组合和变换构建出更复杂的函数。在实际应用中，需要结合具体的数学问题和函数图像特点来进行分析和区分。

指数函数和自然对数

我经常想e真正的意义是什么呢？不是字母本身含义，而是作为一个数学常数的含义

通过查阅自然对数的定义，你会发现：

这个数学常数e是基于自然对数产生的。

自然对数原名为双曲对数，他是基于一个无理常数e=2.71828…

这是一个正确的，但是毫无用处的循环定义。

很多数学书的解释严谨却枯燥无味，并不适合初学者理解。

现在收好你们那些枯燥无味的数学书，我将向你们展示我的领悟，高水平的洞察力。

e不只是一个数字

如果你认为是与一样的无理数。确实，这是正确的，但是你的理解只是停留在表面。

π是圆周长与半径的比，他是所有圆都与身俱来的的比例。影响着圆的周长和面积、球体的面积和体积等的计算。π说明了所有圆都是有关联的，并且三角函数也是起源于此。

e是连续增长系统的极限增量，e让你得到那些一纳秒增长一点点的复合增长的极限结果。他说明了无论那种系统的增长都是以连续的指数的形式增长的。如人口、反射性衰变等等都是用e来表示出来的。

e也是所有增长系统的单位增量。这就像每一个数字都可以用一个单位数字1来表示，每一段线段都可以用一个单位线段来表示，每一个系统增量都可以用一个单位增量e来表示

理解指数增长

让我们从一个基本的系统来说起——翻倍的时间系统。

细菌可以在每24个小时就翻一倍

如果你的收入是资产100%，那么你的资产可以每年翻一倍

那么这些看起来如下图：

用小圆点表示：在每一次细菌进行分裂的时候，小圆点都分裂都成两倍。

如果我们让他分裂1次就得到，分裂4次那么就是，分裂x次，我们就会得到。

不失一般性：

用另一种方式表达的话，那就是以100%的增长率来表示：

事实上，这两个式子是等价的。

当然，我们可以使用任何的百分率(25%、50%、75%……)来代替100%，就会得到一个新的增长率公式，所以不失一般性，所有的式子可以表示为：

细究

我们的式子中增量是以离散的方式分布的，我们的细菌是等待一段时间后，在某个时刻突然分裂出另一个。我们感兴趣的是，细菌如何像魔术一样的到达某时刻时突然分裂出另一个呢？基于增量公式，绿色细胞是突然在一个单位时间出分裂出来（如上图）。但现实不是如此，如果你放大来看（如下图），细菌每时每刻都在分裂。

绿细胞并没有立即被分裂出来，而是慢慢地进行着。当到达一个单位时间，绿细胞就分裂完整了。然后他就会变成一个新的蓝细胞然后继续刚刚的分裂。

在这个式子中，条件改变了么？

没有，在这个细胞分裂的情形中，分裂一半的绿细胞依然啥事都没做，直到他完整的从蓝细胞中分裂出来。

钱

但是钱的计算过程是不相同的。当我们用一美分获取利息时，这一美分每时每刻所产生的利息都可以立即成为本金继续产生利息。我们并不需要等待他直到我们能完整赚得一美元后。

基于我们旧的思考方式，利息增长看起来如下图：

这并不是正确的答案，我们的利息增长不是在某个时刻突然产生的。让我们放大来看，我们的利息每时每刻都在增长。我们可以在一年内赚取100%的金额，也可以在6个月内赚取50%的金额。然后，后6个月赚取剩下的50分：

但是这仍然不正确！在六个月时，我们已经有50美分了，我们忘记了一点，就是这50美分在接下来的时间里也会有利息的。如下图：

因为我们的比例是50%每半年，所以50美分会赚得25美分，所以下一年，我们将得到

原来的一美元（蓝点）

一美元所赚得的一美分（绿点）

50美分所赚得的25美分（红点）

我们一共获得2.25美元。让我们回到一开始的公式，增量可以写成如下公式：

深究复杂的增长

是时候步步深入了，刚刚我们用50%代替了100%，如果我们继续放大，使得每4个小时增长来赚取我们的利息，我们画出更多的点来看看情况：

0月：我们从蓝点一美分开始

4月：蓝点已经赚取了自己的1/3，得到了绿点，约为33美分

8月：蓝点赚得另一个33美分，然后把它给你绿点，绿点变成66美分。33美分的绿点也赚取了自己的1/3产生了红点，约为11美分。

12月：这些东西变得更疯狂，蓝点有赚得33美分，再一次的给了绿点。66美分的绿点也赚得了自己的1/3，约为22美分，并给了红点。11美分的红点也赚得了33%，产生了紫点，约为4美分。   

完美！前后12个月一共赚得1+1+0.33+0.04=2.37

我们重新整理一下这些增长变化是如何发生的吧：

每一种颜色点把他自己的利息传给另一种颜色。而新产生的金钱又会赚取自己本身的利息，如此循环反复。

蓝点原来的金钱始终没有改变，每4个月提供固定33美分给绿点。如图，蓝点上的蓝色箭头所表示的就是他如何提供给绿点。

作为绿点，他无时无刻的增长，同时他提供给红点的金钱也越来越多。在4~8月之间绿点给红点11美分；在8~12月之间，他给了22美分给红点，因为在第8个月绿点变为66美分。如果继续写下去，那么绿点会给红点33美分，因为绿点在12月时已经变为一美元了。

懂么？万事开头难，所以我把我的思路和图表放在一起，以便于大家理解。如此我们就得到了一个增长率为1/3的等式

我们一共得到了2.37美元，比之前的2.25美元多了0.12美元。

我们的获得的金钱能无限增长么？

为什么我们不用更小的增长率来获得跟多的金钱呢？我们获得金钱只会趋近于一个点，我尝试着用数据证明这个问题，而不用复杂的微积分：

n

1

2

2

2.25

3

2.37

5

2.488

10

2.5937

100

2.7048

1,000

2.7169

10,000

2.71814

100,000

2.718268

1,000,000

2.7182804

……

n取得越大值，他的结果越接近2.71828……，等会，这不就是我们的e么？

没错，在令人厌恶的数学中，e被定义为连续增长系统的极限增量：

这个极限式子的结果就是e，同时，正如你所见，我们最后的金钱只能接近于e，而不能无限上涨。

他们全部的含义是啥？

e是一个时间单位内的增量。在每一个微小的步骤中所创造的利息也会开始增长。当所有事情都完成时，你就会的到e。

所以，如果你从一美元开始，我们就会得到1e，如果我们从2美元开始，那么我们就会得到2e。如果我们从11.79美元开始，就会的到11.79e。

e是一个增长极限。如光速c代表光的速度一样，代表着增长系统的增长速度，你不可能达到增长的极限，但是，依据这些参考点和通用的常数，你可以写下每一个增量

如果增长率不同呢？

这是个好问题，如果我们使用50%来代替100%，我们仍能得到e吗？

注意，如果用50%的复合增长率，我们能得到如下公式：

那么，接下来我们该怎么办呢？如上所说，50%是增长率，而数字n是代表将复增长率分为n个周期进行复合。如果n为50，那么，就是把50%分为50个周期，每个周期为1%。

那么，回忆一下，我们在上面表格中也有100%分为100分，即：

恩，好像有什么相似的地方，我们把100%分为100份，每份是1%；50%分为50份，每份也是1%。如此就能得到下述公式：

这非常神奇，，这跟e的幂是一样的。如果我们换成300%，那么，e的幂也会变为3倍，即。

虽然我们使用的是1%，但是你可以用任何一个更小的数，如0.1%、0.01%等等，但是得到的结果都是一样的，那就是如下公式：

如果是不同的单位时间呢？

如果我们300%的单位时间是2年呢？通过我们的证明得到如下：

（证明过程不在赘述，有兴趣同学可自己查阅下方参考文献。）

不失一般性：

这就是数学的魅力，我们通过幂的形式吧，增长率和单位时间联系在一起。

在函数中，我们能得到如下的两个信息：

x可能是增长率为100%，单位时间为3年，即

x也可能是增长率为300%，单位时间为1年，也为

让我解释下这个现象，这是说明100%的增长率在3年内和300%的增长率在1年内的总影响是相同的，而不是以后每个时间段都相同。

【注】本文内容部分翻译自https://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/

----------

等的就是你，真的超有趣！高能金融抱团群发车啦~加我拉你进群呦

稿件涉及数学、物理、算法、计算机、编程等相关领域。

稿件一经采用，我们将奉上稿酬。